Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=（x²+ax）e^-x，（a∈R）
（1）試判斷f（x）在x∈R上能否為單調(diào)函數(shù)，并說明理由；
（2）若f（x）=2在（0，1）內(nèi)有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則f′（x）＞0或f′（x）＜0在x∈R恒成立，設(shè)g（x）=-x²+（2-a）x+a，通過二次函數(shù)的性質(zhì)得到g（x）＞0或g（x）＜0，問題得以判斷；
（2）f（x）=2在（0，1）內(nèi)有解，轉(zhuǎn)化為a=$\frac{2{e}^{x}}{x}$-x在（0，1）內(nèi)有解，構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{2{e}^{x}}{x}$-x，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)h（x）的值域即可．

解答 解：（1）f′（x）=（2x+a）e^-x-（x²+ax）e^-x=e^-x[-x²+（2-a）x+a]，
∵e^-x＞0恒成立，
設(shè)g（x）=-x²+（2-a）x+a，則g（x）開口向下，且△=（2-a）²+4a=（a+2）²≥0，
∴g（x）＞0或g（x）＜0，
∴f′（x）＞0或f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈R上有增有減，
故判斷f（x）在x∈R上不為單調(diào)函數(shù)．
（2）f（x）=（x²+ax）e^-x=2在（0，1）內(nèi)有解，
∴a=$\frac{2{e}^{x}}{x}$-x在（0，1）內(nèi)有解，
令h（x）=$\frac{2{e}^{x}}{x}$-x，
∴h′（x）=$\frac{2{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$-1＜0在（0，1）恒成立，
∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴h（1）＜h（x）＜h（0），
即2e-1＜h（x）＜+∞，
∴a＞2e-1，
∴a的取值范圍為（2e-1，+∞）

點評 本題主要考查通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)增減區(qū)間的問題，培養(yǎng)了學生的化歸能力，運算能力，屬于中檔題．