Question

20．己知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x+3．且f（0）=1
（1）求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下．設(shè)g（x）=f（x）-kx．當(dāng)x∈[-2，2]時．求g（x）最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，由f（x+1）-f（x）=2x+3，得2ax+a+b=2x+3，解方程組求出a，b的值，從而求出函數(shù)的解析式，
（2）求出g（x）=f（x）-kx的解析式，分類討論當(dāng)x∈[-2，2]時，函數(shù)的單調(diào)性，可得g（x）最小值．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+21．
因為f（x+1）-f（x）=2x+3，
所以a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x+3．
即2ax+a+b=2x+3，
∴2a=2，a+b=3，
解得：a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+1；
（2）∵g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{k-2}{2}$為對稱軸的拋物線，
故當(dāng)$\frac{k-2}{2}$≤-2，即k≤-2時，g（x）在[-2，2]上為增函數(shù)，當(dāng)x=-2時，函數(shù)取最小值2k+1；
故當(dāng)-2＜$\frac{k-2}{2}$＜2，即-2＜k＜6時，g（x）在[-2，$\frac{k-2}{2}$]上為減函數(shù)，在[$\frac{k-2}{2}$，2]上為增函數(shù)，當(dāng)x=$\frac{k-2}{2}$時，函數(shù)取最小值$\frac{4k-{k}^{2}}{4}$；
故當(dāng)$\frac{k-2}{2}$≥2，即k≥6時，g（x）在[-2，2]上為減函數(shù)，當(dāng)x=2時，函數(shù)取最小值-2k+9；
綜上所述：$g（x）_{min}=\left\{\begin{array}{l}2k+1，k≤-2\\ \frac{4k-{k}^{2}}{4}，-2＜k＜6\\-2k+9，k≥6\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．