Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|1-

1

x

|（x＞0），證明：當(dāng)0＜a＜b，且f（a）=f（b）時(shí)，ab＞1．

Answer 1

分析：方法一：當(dāng)0＜a＜b，且f（a）=f（b）時(shí)，
由f（a）=f（b）?|1-

1

a

|=|1-

1

b

|?（1-

1

a

）²=（1-

1

b

）²?2ab=a+b≥2

ab

得到關(guān)于ab的不等式，
解出不等式的解集，由解集確定ab＞1．
方法二：去絕對(duì)值號(hào)將函數(shù)變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，即f（x）=

1 x -1    x∈(0，1] 1- 1 x     x∈(1，+∞).

由函數(shù)的單調(diào)性及題設(shè)條件得0＜a＜1＜b且

1

a

-1=1-

1

b

，
即

1

a

+

1

b

=2，將其變形得到2ab=a+b≥2

ab

，解此不等式即可得到結(jié)論．

解答：證明：方法一：由師意f（a）=f（b）?|1-

1

a

|=|1-

1

b

|?（1-

1

a

）²=（1-

1

b

）²?2ab=a+b≥2

ab

故ab-

ab

≥0，即

ab

（

ab

-1）≥0，故

ab

-1≥0，故ab＞1．
方法二：不等式可以變?yōu)閒（x）=

1 x -1    x∈(0，1] 1- 1 x     x∈(1，+∞).

對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析知f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且

1

a

-1=1-

1

b

，
即

1

a

+

1

b

=2?a+b=2ab≥2

ab

故ab-

ab

≥0，即

ab

（

ab

-1）≥0，
故

ab

-1≥0，即ab＞1

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是絕對(duì)值不等式的解法，考查利用絕對(duì)值不等式這一工具證明不等式，二者的結(jié)合點(diǎn)相當(dāng)隱蔽，本題需要對(duì)題設(shè)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明，請(qǐng)注意體會(huì)這里的技巧．