Question

6．已知橢圓：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直線l：y=x+5$\sqrt{7}$，橢圓上任意點P，則點P到直線l的距離的最大值（　�。�

• A． 3$\sqrt{14}$
• B． 2$\sqrt{7}$
• C． 3$\sqrt{7}$
• D． 2$\sqrt{14}$

Answer 1

分析 利用橢圓的參數(shù)方程，設(shè)出點P的坐標，再由點到直線的距離及輔助角公式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出P到直線l最大值．

解答 解：因為P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意點，
可設(shè)P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），其中θ∈[0，2π）；
因此點P到直線y=x+5$\sqrt{7}$，的距離是
d=$\frac{丨\sqrt{3}sinθ-2cosθ-5\sqrt{7}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{丨\sqrt{7}sin（θ-α）-5\sqrt{7}丨}{\sqrt{2}}$，其中tanα=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴當sin（θ+α）=-1時，d取得最大值，
點P到直線l的距離的最大值$\frac{6\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{14}$．
故選A．

點評 本題主要考查了橢圓的參數(shù)方程，點到直線的距離公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．