Question

【題目】如圖所示，在三棱錐中，平面，，分別為線段上的點，且．

（I）證明：平面；

（II）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）．

【解析】

（I）根據(jù)平面并結合的形狀，利用線面垂直的判定定理進行證明；

（II）建立空間直角坐標系，求解出平面的一個法向量，寫出平面的一個法向量，計算出法向量夾角的余弦并結合圖形判斷二面角是鈍角還是銳角，從而計算出二面角的余弦值.

（I）

證明：因為平面，平面，

所以．

由得為等腰直角三角形，

故，

又，且面，面，

故平面．

（II）

如圖，以點為原點，分別以的方向分別為軸，軸，軸的正方向，

建立直角坐標系，

，

設平面的法向量為，則，

即，

令，則，故可取．

由（I）可知平面，故平面的法向量可取為，

即，

則，

又二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為．