Question

【題目】焦距為的橢圓()，如果滿(mǎn)足“”，則稱(chēng)此橢圓為“等差橢圓”.

（1）如果橢圓()是“等差橢圓”，求的值；

（2）如果橢圓 ()是“等差橢圓”，過(guò)作直線(xiàn)與此“等差橢圓”只有一個(gè)公共點(diǎn)，求此直線(xiàn)的斜率；

（3）橢圓()是“等差橢圓”，如果焦距為12，求此“等差橢圓”的方程；

（4）對(duì)于焦距為12的“等差橢圓”，點(diǎn)為橢圓短軸的上頂點(diǎn)，為橢圓上異于點(diǎn)的任一點(diǎn)，為關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(也異于)，直線(xiàn)分別與軸交于兩點(diǎn)，判斷以線(xiàn)段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）是過(guò)定點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；

【解析】

（1）聯(lián)立與，消去，化簡(jiǎn)可得結(jié)果；

（2）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，根據(jù)判別式等于0，可解得結(jié)果；

（3）聯(lián)立解出即可得到結(jié)果.

（4）設(shè)，則，利用直線(xiàn)方程求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出以線(xiàn)段為直徑的圓的方程，根據(jù)圓的方程得到定點(diǎn)坐標(biāo).

（1）因?yàn)闄E圓()是“等差橢圓”，所以，

所以，又，所以，化簡(jiǎn)得.

（2）顯然直線(xiàn)有斜率，設(shè)為，則直線(xiàn)，

由（1）知，所以橢圓方程為：，

聯(lián)立，消去并整理得，

因?yàn)橹本�(xiàn)與此“等差橢圓”只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以，化簡(jiǎn)得，所以.

（3）因?yàn)?/span>，所以，所以，又，

聯(lián)立，解得，

所以此“等差橢圓”的方程為：.

（4）是過(guò)定點(diǎn)，理由如下：

由（3）可知橢圓方程為：，

所以，設(shè)，則，

所以直線(xiàn)的方程為：，令，得，所以，

同理可得，

所以以為直徑的圓的方程為，

結(jié)合，化簡(jiǎn)得 ，

令，得，所以該圓恒過(guò)定點(diǎn).