Question

【題目】如圖，四邊形與均為菱形，設與相交于點，若，且.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2)

【解析】

（1）證明平面平面，即證平面；（2）連接，，由，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系.利用向量法求直線與平面所成角的余弦值.

（1）∵四邊形與四邊形均為菱形，

∴，.

∵平面，平面，平面，平面，

∴平面，平面，

又，平面，平面，

∴平面平面，

又平面，

∴平面.

（2）連接，，∵四邊形為菱形，且，

∴為等邊三角形，

∵為中點，∴，

又∵為中點，且，∴，

又，∴平面.

由，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設，因為四邊形為菱形，，

則，，，

∴，，，，，

，，，

設平面的一個法向量，

則，取，得，

設直線與平面所成角為，

則，

∴，

∴直線與平面所成角的余弦值為.