Question

15．已知點(diǎn)A時(shí)拋物線M：x²=2py（p＞0）與圓N：（x+2）²+y²=r²在第二象限的一個(gè)公共點(diǎn)，滿足點(diǎn)A到拋物線M準(zhǔn)線的距離為r，若拋物線M上動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離與到點(diǎn)N的距離之和最小值為2r，則p=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用拋物線的定義可得A，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，且有A為NF的中點(diǎn)，設(shè)出A，N，F(xiàn)的坐標(biāo)，代入拋物線的方程可得p

解答 解：圓圓N：（x+2）²+y²=r²圓心N（-2，0），半徑為r，
|AN|+|AF|=2r，
由拋物線M上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)N的距離之和的最小值為2r，
由拋物線的定義可得動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)與到點(diǎn)N的距離之和的最小值為2r，
可得A，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，且有A為NF的中點(diǎn)，
由N（-2，0），F(xiàn)（0，$\frac{p}{2}$），可得A（-1，$\frac{p}{4}$），
代入拋物線的方程可得，1=2p•$\frac{p}{4}$，
解得p=$\sqrt{2}$，

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用拋物線的定義和三點(diǎn)共線和最小，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．