Question

8．在直角坐標系x0y中，橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，焦點在y軸上，橢圓與x軸交點坐標為（-1，0），（1，0），直線l：y=kx+1與橢圓交于A、B兩點．
（1）求出橢圓的方程；
（2）若k=1，求△AOB的面積；
（3）是否存在直線l，使得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，若存在，求實數(shù)k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$，利用已知條件求出橢圓的幾何量，然后得到橢圓的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用直線與橢圓的聯(lián)立方程組，求出坐標，然后求解三角形的面積；
（3）設(shè)存在這樣的實數(shù)k．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1.\end{array}\right.$，通過韋達定理結(jié)合數(shù)量積為0，求解即可．

解答 解：（1）因為焦點在y軸上，設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$，
由題知b=1，$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即$c=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，又${a^2}={b^2}+{c^2}=1+\frac{3}{4}{a^2}$，所以a²=4．
故曲線C的方程為${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$． …（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=x+1.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=-1\\{y_1}=0\end{array}\right.$，$\left\{{\begin{array}{l}{{x_2}=\frac{3}{5}}\\{{y_2}=\frac{8}{5}}\end{array}}\right.$…（6分）
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AO}||{y_2}|=\frac{1}{2}×1×\frac{8}{5}=\frac{4}{5}$…（8分）
（3）設(shè)存在這樣的實數(shù)k．再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1.\end{array}\right.$
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故${x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{{k^2}+4}}，{x_1}{x_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}$． …（10分）
若$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1$，
于是${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}-\frac{{3{k^2}}}{{{k^2}+4}}-\frac{{2{k^2}}}{{{k^2}+4}}+1=0$，
化簡得-4k²+1=0，所以$k=±\frac{1}{2}$．…（12分）
經(jīng)檢驗$k=±\frac{1}{2}$都符合要求，所以存在這樣的實數(shù)k，其值為$±\frac{1}{2}$…（14分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓的方程的求法，存在性問題的處理方法，值得學習，考查計算能力．