已知tanα=
2
-1
函數(shù)f(x)=x2tan2α+xsin(2α+
π
4
)
其中α∈(0,
π
2
)

(1)求f(x)的解析式;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=
1
2
, 
an+1=f(an)(n∈N*)求證:
(i)an+1>an(n∈N*);
(ii)1<
1
1+a1
+
1
1+a2
+
…+
1
1+an
<2(n≥2,n∈N*).
分析:(1)由tan2α=
2tanα
1-tan2α
=
2
2
-2
1-(
2
-1)2
=1,將tanα=
2
-1
代入可求解,由α為銳角,得α,進(jìn)而求得函數(shù)表達(dá)式.
(2)(i)由數(shù)列{an}滿足a1=
1
2
, 
an+1=f(an)(n∈N*),知an+1=an2+an,由此能夠證明an+1>an(n∈N*).
(ii)由數(shù)列{an}滿足a1=
1
2
, 
an+1=an2+an=an(an+1),能夠?qū)С?span id="6eanv5l" class="MathJye">
1
an+1
=
1
an
-
1
an+1
,利用裂項(xiàng)求和法得到
1
1+a1
+
1
1+a2
+
…+
1
1+an
=2-
1
an+1
,由此能夠證明1<
1
1+a1
+
1
1+a2
+
…+
1
1+an
<2(n≥2,n∈N*
解答:解:(1)解:∵tan2α=
2tanα
1-tan2α
=
2
2
-2
1-(
2
-1)2
=1
又∵α∈(0,
π
2
)
,
∴α=
π
8
,∴sin(2α+
π
4
)=1,
∴f(x)=x2+x.
(2)(i)∵數(shù)列{an}滿足a1=
1
2
, 
an+1=f(an)(n∈N*),
an+1=an2+an,
∴an+1-an=an2>0,
∴an+1>an(n∈N*).
(ii)∵數(shù)列{an}滿足a1=
1
2
, 
an+1=an2+an=an(an+1),
1
an+1
=
1
an(an+1)
=
1
an
-
1
an+1
,
1
an+1
=
1
an
-
1
an+1
,
1
1+a1
+
1
1+a2
+
…+
1
1+an
=(
1
a1
-
1
a2
)+(
1
a2
-
1
a3
)+…+(
1
an
-
1
an+1

=
1
a1
-
1
an+1

=2-
1
an+1

∴1<
1
1+a1
+
1
1+a2
+
…+
1
1+an
<2(n≥2,n∈N*).
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)解析式的求法和不等式的證明,具體涉及到正切函數(shù)的倍角公式、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1-sin2x
1-cos2(
π
2
-x)

(1)求f(x)的定義域;
(2)已知tanα=-2,求f(α)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知tanα=2,求下列各式的值:
(1)
2sin2α-3cos2α4sin2α-9cos2α
;
(2)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知tanα=2,求下列各式的值.
(1)
sinα-4cosα5sinα+2cosα
               
(2)sin2α-4cosαsinα

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知tanα=2,tanβ=-
1
3
,其中0<α<
π
2
,
π
2
<β<π

(1)求tan(α-β);
(2)求α+β的值.

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