Question

14．某大學有甲、乙兩個圖書館，對其借書、還書的等待時間進行調查，得到下表：
甲圖書館

借（還）書等待時間T1（分鐘）	1	2	3	4	5
頻數(shù)	1500	1000	500	500	1500

乙圖書館

借（還）書等待時間T2（分鐘）	1	2	3	4	5
頻數(shù)	1000	500	2000	1250	250

以表中等待時間的學生人數(shù)的頻率為概率．
（1）分別求在甲、乙兩圖書館借書的平均等待時間；
（2）學校規(guī)定借書、還書必須在同一圖書館，某學生需要借一本數(shù)學參考書，并希望借、還書的等待時間之和不超過4分鐘，在哪個圖書館借、還書更能滿足他的要求？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知可得T₁，T₂的分布列及其數(shù)學期望．
（2）設T₁₁，T₁₂分別表示在甲圖書館借、還書所需等待時間，設事件A為“在甲圖書館借、還書的等待時間之和不超過4分鐘”．T₁₁+T₁₂≤4的取值分別為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．設T₂₁，T₂₂分別表示在乙圖書館借、還書所需等待時間，設事件B為“在乙圖書館借、還書的等待時間之和不超過4分鐘”．T₂₁+T₂₂≤4的取值分別為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出．

解答 解：（1）根據(jù)已知可得T₁的分布列：

T1（分鐘）	1	2	3	4	5
P	0.3	0.2	0.1	0.1	0.3

T₁的數(shù)學期望為：E（T₁）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．

T2（分鐘）	1	2	3	4	5
P	0.2	0.1	0.4	0.25	0.05

T₂的數(shù)學期望為：E（T₁）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：該同學甲、乙兩圖書館借書的平均等待時間分別為：2.9分鐘，2.85分鐘．
（2）設T₁₁，T₁₂分別表示在甲圖書館借、還書所需等待時間，設事件A為“在甲圖書館借、還書的等待時間之和不超過4分鐘”．T₁₁+T₁₂≤4的取值分別為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．
∴P（A）=0.3×0.3+0.3×0.2+0.3×0.1+0.2×0.3+0.2×0.2+0.1×0.3=0.31．
設T₂₁，T₂₂分別表示在乙圖書館借、還書所需等待時間，設事件B為“在乙圖書館借、還書的等待時間之和不超過4分鐘”．T₂₁+T₂₂≤4的取值分別為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．
∴P（B）=0.2×0.2+0.2×0.1+0.2×0.4+0.1×0.2+0.1×0.1+0.4×0.2=0.25．
∴P（A）＞P（B）．∴在甲圖書館借、還書更能滿足他的要求．

點評 本題考查了隨機變量分布列的概率計算公式與數(shù)學期望計算公式、分類討論方法、相互獨立與互斥事件的概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．