Question

設(shè)數(shù)列a_n的首項(xiàng)，且，記
（1）求a₂•a₃
（2）判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（3）證明b₁+3b₂+5b₃．

Answer 1

（1）解：由題意，a₂=a₁+=，a₃=a₂=---------------------------------（4分）
（2）解：{b_n}是等比數(shù)列
證明如下：因?yàn)閎_n+1=a_2n+1-=a_2n-=（a_2n-1-）=b_n，（n∈N^*）
所以{b_n}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列
所以-----（8分）
（3）證明：（2n-1）b_n=
令S_n=b₁+3b₂+5b₃+…+=+3•+…+①，則
S_n=+3•+…+（2n-3）•+②
①-②可得S_n=+2•+2•+…+2•-
∴S_n=，顯然小于---------（13分）
分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算可得結(jié)論；
（2）{b_n}是等比數(shù)列，利用，代入計(jì)算可可以證明；
（3）利用錯(cuò)位相減法求和，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查錯(cuò)位相減法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．