Question

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數，且滿足以下條件：
①f（x）為奇函數，g（x）為偶函數；  
②f（1）=0，g（x）≠0；
③當x＞0時，總有f（x）•g′（x）＜f′（x）•g（x）．
則

f(x-2)

g(x-2)

＞0的解集為（　�。�

• A、（1，2）∪（3，+∞）
• B、（-1，0）∪（1，+∞）
• C、（-3，-2）∪（-1，+∞）
• D、（-1，0）∪（3，+∞）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,奇偶性與單調性的綜合

專題：導數的綜合應用

分析：根據條件構造函數，利用導數研究函數的單調性，然后進行求解即可．

解答： 解：設函數m（x）=

f(x)

g(x)

，∴m′（x）=[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

，
由②g（x）≠0，③f（x）•g′（x）＜f′（x）•g（x）得f′（x）•g（x）-f（x）•g′（x）＞0
可知[

f(x)

g(x)

]'=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＞0，即函數m（x）=

f(x)

g(x)

在x＞0上單調遞增，且m（1）=

f(1)

g(1)

=0，
∵①f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，
∴m（x）=

f(x)

g(x)

是奇函數，
且當x＜0是，函數m（x）=

f(x)

g(x)

在x＜0上單調遞增，且m（-1）=-m（1）=0，
則函數m（x）對應的簡圖為，
則m（x）＞0的解為-1＜x＜0或x＞1，
將m（x）的圖象向右平移2個單位，即得到m（x-2）=

f(x-2)

g(x-2)

＞0的解，
則m（x-2）=

f(x-2)

g(x-2)

＞0的解為-1＜x-2＜0或x-2＞1，
即1＜x＜2或x＞3，
故選：A．

點評：本題主要考查導數的計算，以及函數單調性和導數符號之間的關系，構造函數是解決本題的關鍵．