Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形， 平面， 分別為的中點(diǎn)，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求三棱錐與四棱錐的體積之比.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明過程詳見解析；（3）1：4

【解析】試題分析：（1）欲證平面平面，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面內(nèi)一直線與平面垂直，而根據(jù)線面垂直的判定定理可知平面平面，滿足定理?xiàng)l件；（2）證明，利用線面平行的判定定理，即可證明平面；（3）不妨設(shè)，求出，得到 ，求出PD，根據(jù)面，所以即為點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)三棱錐的體積公式求出體積得到 的比值．

試題解析：

(1)證明：∵分別為的中點(diǎn)，

∴，

又∵四邊形是正方形，

∴，∴，

∵在平面外， 在平面內(nèi)，

∴平面， 平面，

又∵都在平面內(nèi)且相交，

∴平面平面.

(2)證明：由已知平面，

∴平面.

又平面，∴.

∵四邊形為正方形，∴，

又，∴平面，

在中，∵分別為的中點(diǎn)，

∴，∴平面.

又平面，∴平面平面.

(3)解：∵平面，四邊形為正方形，不妨設(shè)，則.

∵平面，且，

∴即為點(diǎn)到平面的距離，

∴.