Question

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知BC=AA₁=1，AB=2，P是A₁B₁的中點(diǎn)，則直線PB與平面BB₁D₁D所成角的大小為

arcsin

10

10

．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥B₁D₁，交B₁D₁與點(diǎn)H，連接BH，根據(jù)題意可得：PH⊥平面BB₁D₁D，可得∠PBH為直線PB與平面BB₁D₁D所成的角．再在△BPH中利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出答案．

解答：解：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥B₁D₁，交B₁D₁與點(diǎn)H，連接BH，
由長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的結(jié)構(gòu)特征可得：BB₁⊥PH，
又因?yàn)镻H⊥B₁D₁，B₁D₁∩BB₁=B₁，
所以PH⊥平面BB₁D₁D，
所以∠PBH為直線PB與平面BB₁D₁D所成的角．
因?yàn)锳A₁=1，AB=2，P是A₁B₁的中點(diǎn)，
所以BP=

2

；
又因?yàn)镻H⊥B₁D₁，并且BC=1，AB=2，P是A₁B₁的中點(diǎn)，
所以PH=

5

5

，
所以在△BPH中，sin∠PBH=

PH

BP

=

10

10

．
故答案為：arcsin

10

10

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握作空間角的過(guò)程與步驟，作角時(shí)一般是由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出空間角來(lái)，再利用解三角形的有關(guān)進(jìn)行求解，此題也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識(shí)解決空間角等問(wèn)題．