【題目】如圖,斜三棱柱中,是邊長為2的正三角形,為的中點(diǎn),平面,點(diǎn)在上,,為與的交點(diǎn),且與平面所成的角為.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)連結(jié),證明相似得到,得到證明.
(2)以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,平面的法向量為,平面的法向量為,計(jì)算夾角得到答案.
(1)連結(jié),為的中點(diǎn),,,
又,,.
又平面,平面,所以平面.
(2)因?yàn)?/span>是邊長為2的正三角形,為的中點(diǎn),平面,
所以,,,兩兩垂直,以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
與平面所成的角為,又∥,與平面所成的角為,
又平面,與平面所成的角為,即.
又是邊長為2的正三角形,為的中點(diǎn),,
由題意知,,,,
所以,,,,
設(shè)平面的法向量為,
所以,,即,取,
設(shè)平面的法向量為,
由,得,取,
所以,
設(shè)二面角的大小為,.
所以二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某生活超市有一專柜預(yù)代理銷售甲乙兩家公司的一種可相互替代的日常生活用品.經(jīng)過一段時(shí)間分別單獨(dú)試銷甲乙兩家公司的商品,從銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)各抽取50天,統(tǒng)計(jì)每日的銷售數(shù)量,得到如下的頻數(shù)分布條形圖.甲乙兩家公司給該超市的日利潤方案為:甲公司給超市每天基本費(fèi)用為90元,另外每銷售一件提成1元;乙公司給超市每天的基本費(fèi)用為130元,每日銷售數(shù)量不超過83件沒有提成,超過83件的部分每件提成10元.
(Ⅰ)求乙公司給超市的日利潤(單位:元)與日銷售數(shù)量的函數(shù)關(guān)系;
(Ⅱ)若將頻率視為概率,回答下列問題:
(1)求甲公司產(chǎn)品銷售數(shù)量不超過87件的概率;
(2)如果僅從日均利潤的角度考慮,請你利用所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識為超市作出抉擇,選擇哪家公司的產(chǎn)品進(jìn)行銷售?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某人將編號分別為1,2,3,4,5的5個(gè)小球隨機(jī)放入編號分別為1,2,3,4,5的5個(gè)盒子中,每個(gè)盒子中放一個(gè)小球若球的編號與盒子的編號相同,則視為“放對”,否則視為“放錯(cuò)”,則全部“放錯(cuò)”的情況有________種.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)APP軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機(jī)抽取100個(gè)商家,對它們的“平均送達(dá)時(shí)間”進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到頻率分布直方圖如下.
(1)已知抽取的100個(gè)使用A款訂餐軟件的商家中,甲商家的“平均送達(dá)時(shí)間”為18分鐘。現(xiàn)從使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達(dá)時(shí)間”不超過20分鐘的商家中隨機(jī)抽取3個(gè)商家進(jìn)行市場調(diào)研,求甲商家被抽到的概率;
(2)試估計(jì)該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的眾數(shù)及平均數(shù);
(3)如果以“平均送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)作為決策依據(jù),從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐,你會(huì)選擇哪款?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐S﹣ABC中,SA⊥底面ABC,AC=AB=SA=2,AC⊥AB,D、E分別是AC、BC的中點(diǎn),F在SE上,且SF=2FE.
(1)求證:平面SBC⊥平面SAE
(2)若G為DE中點(diǎn),求二面角G﹣AF﹣E的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,斜三棱柱中,是邊長為2的正三角形,為的中點(diǎn),平面,點(diǎn)在上,,為與的交點(diǎn),且與平面所成的角為.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中,用如圖所示的三角形(楊輝三角)解釋了二項(xiàng)和的乘方規(guī)律.右邊的數(shù)字三角形可以看作當(dāng)n依次取0,1,2,3,…時(shí)展開式的二項(xiàng)式系數(shù),相鄰兩斜線間各數(shù)的和組成數(shù)列.例:,,,….
(1)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式(結(jié)果用組合數(shù)表示),無需證明;
(2)猜想,與的大小關(guān)系,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與軸的正半軸重合,曲線的極坐標(biāo)方程是,直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).
(1)若,是圓上一動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最小值和最大值;
(2)直線與關(guān)于原點(diǎn)對稱,且直線截曲線的弦長等于,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國家正積極推行垃圾分類工作,教育部辦公廳等六部門也發(fā)布了《關(guān)于在學(xué)校推進(jìn)生活垃圾分類管理工作的通知》.《通知》指出,到2020年底,各學(xué)校生活垃圾分類知識普及率要達(dá)到100%某市教育主管部門據(jù)此做了“哪些活動(dòng)最能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行垃圾分類”的問卷調(diào)查(每個(gè)受訪者只能在問卷的4個(gè)活動(dòng)中選擇一個(gè))如圖是調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計(jì)圖,以下結(jié)論正確的是( 。
A.回答該問卷的受訪者中,選擇的(2)和(3)人數(shù)總和比選擇(4)的人數(shù)多
B.回該問卷的受訪者中,選擇“校園外宣傳”的人數(shù)不是最少的
C.回答該問卷的受訪者中,選擇(4)的人數(shù)比選擇(2)的人數(shù)可能多30人
D.回答該問卷的總?cè)藬?shù)不可能是1000人
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