Question

某公司對(duì)工廠A的一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測．右圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．
（1）求圖中x的值；
（2）若將頻率視為概率，從這批產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件，求至多有2件產(chǎn)品的凈重在[96，98）的概率；
（3）經(jīng)過考察后，該公司決定在2011年年初投資到工廠A50萬元，到年底可能獲利32%，也可能虧損16%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為合格產(chǎn)品和不合格產(chǎn)品的概率（若產(chǎn)品凈重在[98，104）為合格產(chǎn)品，其余為不合格產(chǎn)品）．設(shè)2011年底公司的投資總資產(chǎn)（本金+利潤）為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖中，各矩形的面積和（頻率和）為 1，我們易構(gòu)造關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，
（2）從這批產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件，求至多有2件產(chǎn)品的凈重在[96，98）分為沒有產(chǎn)品滿足條件，有1件產(chǎn)品滿足條件，有2件產(chǎn)品滿足條件，三種情況由（1）的結(jié)論，我們可求出抽取的產(chǎn)品凈重在[96，98）的概率，代入相互獨(dú)立事件概率乘法公式，即可得到答案．
（3）由于 該公司決定在2011年年初投資到工廠A50萬元，到年底可能獲利32%，也可能虧損16%，故ξ的取值有66和42兩種情況，構(gòu)造隨機(jī)變量ξ的分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式，即可得到答案．

解答：解：（1）依題意及頻率分布直方圖知，（x+0.075+0.100+0.125+0.15）×2=1，（2分）
解得x=0.05…（3分）
（2）設(shè)所抽取到得產(chǎn)品的件數(shù)為X，由題意知，X～B（3，0.1），因此

P(X=0)= C 0 3 ×0.93=0.729 P(X=1)= C 1 3 ×0.1×0.92=0.243 P(X=2)= C 2 3 ×0.12×0.9=0.027

…（5分）
所以至多有2件產(chǎn)品的凈重在[96，98）的概率P=P（x=0）+P（x=1）+P（x=2）=0.729+0.234+0.027=0.999．…（7分）
（3）ξ可能的值為：50×（1+32%）=66（萬元）
50×（1-16%）=42（萬元）    …（8分）
P(ξ=66)=

3

4

P(ξ=42)=

1

4

…（10分）

ξ	66	42
P	3 4	1 4

故ξ的分布列為
…（11分）∴Eξ=66×

3

4

+42×

1

4

=60（萬元）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查頻率分布直方圖、二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的期望等知識(shí)，立足考查數(shù)據(jù)處理能力、計(jì)算能力和解決實(shí)際問題的能力．