Question

解關(guān)于x的不等式：|x+2|-|2x-5|＞a+1．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=|x+2|-|2x-5|=

7-x，x≥ 5 2 3x-3，-2＜x＜ 5 2 x-7，x≤-2

，顯然f（x）的最大值為f（

5

2

）=

9

2

，且f（-2）=-9．再分當(dāng)a+1≥

9

2

、當(dāng)-9＜a+1＜

9

2

 時(shí)、當(dāng)a+1≤-9時(shí)三種情況，分別根據(jù)f（x）的圖象在直線y=a+1的上方，求出x的范圍．

解答： 解：設(shè)f（x）=|x+2|-|2x-5|=

7-x，x≥ 5 2 3x-3，-2＜x＜ 5 2 x-7，x≤-2

，
顯然f（x）的最大值為f（

5

2

）=

9

2

，且f（-2）=-9．
由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象應(yīng)該在直線y=a+1的上方．
當(dāng)a+1≥

9

2

，即a≥

7

2

時(shí)，不等式無(wú)解；
當(dāng)-9＜a+1＜

9

2

 時(shí)，即-10＜a＜

7

2

時(shí)，由3x-3=a+1，求得x=

a+4

3

；由7-x=a+1，求得x=6-a，
故不等式解集為（

a+4

3

，6-a）；
當(dāng)a+1≤-9時(shí)，即a≤-10時(shí)，由x-7=a+1，求得x=8+a；由7-x=a+1，求得x=6-a，
故不等式解集為[a+8，6-a]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．