Question

定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）為減函數(shù)，f(sin(

π

2

-θ)+mcosθ)+f(2-2m)＞0對(duì)θ∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：本題是利用函數(shù)的單調(diào)性將抽象不等式變?yōu)槿�角不等式，再由三角函�?shù)的有界性求參數(shù)m的范圍，本題中為了利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式需要根據(jù)函數(shù)的奇偶性將原不等式變?yōu)?span id="kbpe6cp" class="MathJye">f(sin(

π

2

-θ)+mcosθ)＞f(-2+2m)，利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化，即可求得結(jié)果．

解答：解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)又是減函數(shù)，
f[sin(

π

2

-θ)+mcosθ]+f(2-2m)＞0恒成立
?f[sin(

π

2

-θ)+mcosθ]＞f(-2+2m)
?sin(

π

2

-θ)+mcosθ＜2m-2即cosθ+mcosθ＜2m-2
整理得：m＞

2+cosθ

2-cosθ

恒成立，
設(shè)y=

2+cosθ

2-cosθ

，
下面只需求y=

2+cosθ

2-cosθ

的最大值，
由于y(2-cosθ)=2+cosθ，cosθ=

2y-2

y+1

⇒-1≤

2y-2

y+1

≤1，

1

3

≤y≤3
可知y的最大值=3，
∴m＞3
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查綜合利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性研究不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是利用函數(shù)的性質(zhì)將不等式恒成立求參數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題．屬中檔題．