已知圓C1的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l1：相切．
（1）求圓的標準方程；
（2）設點A為圓上一動點，AN⊥x軸于N，若動點Q滿足：，（其中m為非零常數(shù)），試求動點Q的軌跡方程C2；
（3）在（2）的結論下，當時，得到曲線C，與l1垂直的直線l與曲線C交于B、D兩點，求△OBD面積的最大值．
【答案】分析：（1）設圓的半徑為r，圓心到直線l1距離為d，則．由此能求出圓的方程．
（2）設動點Q（x，y），A（x，y），AN⊥x軸于N，N（x，0）由題意，（x，y）=m（x，y）+（1-m）（x，0），所以，由此能求出動點Q的軌跡方程．
（3）時，曲線C方程為，設直線l的方程為y=-x+b．設直線l與橢圓交點B（x1，y1），D（x2，y2），聯(lián)立方程，得7x2-8bx+4b2-12=0．由此能求出△OBD面積的最大值．
解答：解：（1）設圓的半徑為r，圓心到直線l1距離為d，則，2分
圓C1的方程為x2+y2=4，2分
（2）設動點Q（x，y），A（x，y），AN⊥x軸于N，N（x，0）
由題意，（x，y）=m（x，y）+（1-m）（x，0），所以，2分
即：，將代入x2+y2=4，得，3分
（3）時，曲線C方程為，設直線l的方程為y=-x+b
設直線l與橢圓交點B（x1，y1），D（x2，y2）
聯(lián)立方程得7x2-8bx+4b2-12=0，1分
因為△=48（7-b2）＞0，解得b2＜7，且，2分
∵點O到直線l的距離，．
∴=，2分
（當且僅當b2=7-b2即時取到最大值），1分
∴△OBD面積的最大值為．1分．
點評：本題考查圓的方程和橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，具體涉及到圓的簡單性質、橢圓的性質和應用、直線和圓錐曲線的位置關系的應用．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
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已知圓C1的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l1：x-y-2
2
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（Ⅰ）求圓的標準方程；
（Ⅱ）設點A（x0，y0）為圓上任意一點，AN⊥x軸于N，若動點Q滿足
OQ
=m
OA
+n
ON
，（其中m+n=1，m，n≠0，m為常數(shù)），試求動點Q的軌跡方程C2；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結論下，當m=
3
2
時，得到曲線C，問是否存在與l1垂直的一條直線l與曲線C交于B、D兩點，且∠BOD為鈍角，請說明理由．

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2
=0相切．
（1）求圓的標準方程；
（2）設點A為圓上一動點，AN⊥x軸于N，若動點Q滿足：
OQ
=m
OA
+(1-m)
ON
，（其中m為非零常數(shù)），試求動點Q的軌跡方程C2；
（3）在（2）的結論下，當m=
3
2
時，得到曲線C，與l1垂直的直線l與曲線C交于B、D兩點，求△OBD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：吉林省模擬題 題型：解答題

已知圓C1的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l1：x-y-2=0相切，
（Ⅰ）求圓的標準方程；
（Ⅱ）設點A為圓上一動點，AN⊥x軸于N，若動點Q滿足，（其中m為非零常數(shù)），試求動點Q的軌跡方程C2；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結論下，當時，得到曲線C，與l1垂直的直線l與曲線C交于B、D兩點，求△OBD面積的最大值。

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科目：高中數(shù)學 來源：期末題 題型：解答題

已知圓C1的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l1：相切．
（Ⅰ）求圓的標準方程；
（Ⅱ）設點A（x0，y0）為圓上任意一點，AN⊥x軸于N，若動點Q滿足，（其中m+n=1，m，n≠0，m為常數(shù)），試求動點Q的軌跡方程C2；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結論下，當時，得到曲線C，問是否存在與l1垂直的一條直線l與曲線C交于B、D兩點，且∠BOD為鈍角，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：《圓與方程》2013年山西省高考數(shù)學一輪單元復習（解析版） 題型：解答題

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（Ⅲ）在（Ⅱ）的結論下，當時，得到曲線C，問是否存在與l1垂直的一條直線l與曲線C交于B、D兩點，且∠BOD為鈍角，請說明理由．

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