Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²-2x，g（x）=ax-1，若?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 ?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），轉(zhuǎn)化為x₂∈[-1，2]時，g（x₂）的值域A與f（x₁）的值域B的關(guān)系是A?B，由此求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：若?x₁∈[1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），即g（x）在[-1，2]上的值域要包含f（x）在[-1，2]上的值域，
又在[-1，2]上，f（x）∈[-1，3]．
①當a＜0時，g（x）=ax-1單調(diào)遞減，g（x）∈[2a-1，-a-1]，此時$\left\{\begin{array}{l}{2a-1≤-1}\\{-a-1≥3}\end{array}\right.$，解得a≤-4，
②當a=0時，g（x）=-1，顯然不滿足題設(shè)；
③當a＞0時，g（x）=ax-1單調(diào)遞增，g（x）∈[-a-1，2a-1]，此時$\left\{\begin{array}{l}{-a-1≤-1}\\{2a-1≥3}\end{array}\right.$，解得a≥2．
綜上，?x₁∈[1，2]，?x₂∈[-1，2]使得f（x₁）=g（x₂）的取值范圍為（-∞，-4]∪[2，+∞）．

點評 本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，解題時應(yīng)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值和值域，分類解答，是綜合性題目．