Question

7．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）若{b_n}是首項為1，公比為2等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，對任意p，q∈N^*，a_p+a_q=a_p+q，記數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和為T_n，求滿足不等式T_n＞$\frac{n^2}{2}$+100的自然數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用遞推式與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）對任意p，q∈N^*，a_p+a_q=a_p+q，則a_n+a₁=a_n+1，即a_n+1-a_n=a₁=1，利用等差數(shù)列的通項公式可得a_n，分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
則n≥2時，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2，
兩式相減，得a_nb_n=n•2ⁿ（n≥2），
當(dāng)n=1時，a₁b₁=2，滿足上式，
∴a_nb_n=n•2ⁿ（n∈N^*），
又∵{b_n }是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則b_n=2^n-1，
∴a_n=2n．
（Ⅱ）∵對任意p，q∈N^*，a_p+a_q=a_p+q，則a_n+a₁=a_n+1，即a_n+1-a_n=a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n，
由（Ⅰ）得b_n=2ⁿ，
T_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）=$\frac{n（n+1）}{2}+\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}$=$\frac{n（n+1）}{2}+{2^{n+1}}-2$，
不等式${T_n}＞\frac{n^2}{2}+100$，即${2^{n+1}}+\frac{n}{2}＞102$，
∴滿足條件的自然數(shù)n的最小值為6．

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、不等式性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．