Question

12．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（1，cosx），x∈R．函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），求f（x）的最大值和周期．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、平方關(guān)系化簡f（x），配方后利用二次函數(shù)和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最大值和周期．

解答 解：由題意得，$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（1，cosx），
所以f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=（sinx，cosx）•（1+sinx，2cosx）
=sinx（1+sinx）+2cos²x=sinx+cos²x+1
=-sin²x+sinx+2=$-（sinx-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$，
所以當(dāng)sinx=$\frac{1}{2}$時，f（x）取到最大值是$\frac{9}{4}$，
且f（x）的周期T=2π．

點評 本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)和正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及配方法的應(yīng)用，屬于中檔題．