Question

在△ABC中，求分別滿足下列條件的三角形形狀：
①B=60°，b²=ac；②b²tanA=a²tanB；
③sinC=

sinA+sinB

cosA+cosB

；④（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B）．

Answer 1

分析：①根據(jù)余弦定理可求出a=c，再由B=60°可判斷三角形是等邊三角形．
②根據(jù)正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦的關(guān)系，再由二倍角公式可得到A與B的關(guān)系，進而得到答案．
③根據(jù)正弦定理將角的正弦關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再由余弦定理可得三邊滿足勾股數(shù)，進而可判斷三角形的形狀．
④利用兩角和公式對等式進行化簡整理，求得

sinAcosB

cosAsinB

=

a2

b2

，利用正弦定理轉(zhuǎn)化成角的正弦，進而約分求得sin2A=sin2B，進而確定A，B的關(guān)系，確定三角形的形狀

解答：解：①由余弦定理cos60°=

a2+c2-b2

2ac

?

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

?a2+c2-ac=ac
∴（a-c）²=0，∴a=c．由a=c及B=60°可知△ABC為等邊三角形．
②由b2tanA=a2tanB?

b2sinA

cosA

=

a2sinB

cosB

?

sinBcosA

sinAcosB

=

b2

a2

=

sin2B

sin2A

∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴A=B或A+B=90°，
∴△ABC為等腰△或Rt△．
③∵sinC=

sinA+sinB

cosA+cosB

，由正弦定理：c（cosA+cosB）=a+b，
再由余弦定理：c×

a2+b2-c2

2bc

+c×

a2+c2-b2

2ac

=a+b
∴（a+b）（c²-a²-b²）=0，∴c²=a²+b²，∴△ABC為Rt△．
④∵（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B）．
∴（a²-b²）（sinAcosB+cosAsinB）=（a²+b²）（sinAcosB-cosAsinB）．
整理求得a²cosAsinB=b²sinAcosB，
即：

sinAcosB

cosAsinB

=

a2

b2

=

sin2A

sin2B

∴sin2A=sin2B，
∴A=B或A+B=

π

2

∵

a

sinA

=

b

sinB

=2R，
∴△ABC是等腰△或Rt△．

點評：這類判定三角形形狀的問題的一般解法是：由正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡考查邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀．有時一個條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用．如本例的②④也可用余弦定理，請同學們試試看．