【題目】【2018江西南康中學(xué)、于都中學(xué)上學(xué)期第四次聯(lián)考】橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，且到右焦點(diǎn)距離的最大值為．

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，若直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不是上下頂點(diǎn)）．試問：直線是否經(jīng)過某一定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由；

（III）在（II）的條件下，求面積的最大值．

【答案】（I）；（II）過定點(diǎn)；（III） ．

【解析】試題分析：（1）由題意布列關(guān)于a,b的方程組，解之即可;（2）聯(lián)立直線與橢圓方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，然后借助韋達(dá)定理，將向量的數(shù)量積為零表示出來，得到方程，進(jìn)而求出定點(diǎn)。(3) 第三問的面積則是將拆分成和兩個(gè)三角形面積之和,表達(dá)面積后，利用換元法簡化表達(dá)式，再利用均值不等式求最值即可.

試題解析：

（1）由已知得：2a=4∴a=2， ， ，b=1， ∴橢圓C的方程為： .

（2）依題意可設(shè)直線（k必存在），，將代入橢圓方程得． ， ，

∵∴，

∴ ，∵點(diǎn)B為橢圓的上頂點(diǎn)，且，∴，

， 或（舍去），，∴直線l 必過定點(diǎn).

（3）不難得到： ，

，

令，則，

∴（當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如下表：（單位：人）

（Ⅰ）能否據(jù)此判斷有97．5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？

（Ⅱ）經(jīng)過多次測(cè)試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在5—7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在6—8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱底面，且側(cè)棱的長是，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x－1＋ (a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線平行于x軸.

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)f(x)的極值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，過橢圓的左焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求△的面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖在多面體中，四邊形是邊長為的正方形， 為等腰梯形，且， ， ， .

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，圓，動(dòng)圓與圓內(nèi)切并且與圓外切，圓心的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）已知曲線與軸交于兩點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)的直線與交于 (不垂直軸)，過作直線交于點(diǎn)且交軸于點(diǎn)，若構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形，證明：直線， 的斜率之積為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品的歷史收益率（收益率=利潤÷保費(fèi)收入）的頻率分布直方圖如圖所示：

（Ⅰ）試估計(jì)平均收益率；

（Ⅱ）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每份保單的保費(fèi)在20元的基礎(chǔ)上每增加元，對(duì)應(yīng)的銷量（萬份）與（元）有較強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系，從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組與的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

據(jù)此計(jì)算出的回歸方程為.

（i）求參數(shù)的估計(jì)值；

（ii）若把回歸方程當(dāng)作與的線性關(guān)系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率估計(jì)此產(chǎn)品的收益率，每份保單的保費(fèi)定為多少元時(shí)此產(chǎn)品可獲得最大收益，并求出該最大收益.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知命題恒成立；命題方程表示雙曲線.

（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若命題“”為真命題，“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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