Question

已知橢圓E：=1（a＞b＞o）的離心率e=，且經(jīng)過點（，1），O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）圓O是以橢圓E的長軸為直徑的圓，M是直線x=-4在x軸上方的一點，過M作圓O的兩條切線，切點分別為P、Q，當∠PMQ=60°時，求直線PQ的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓E：=1（a＞b＞0）的離心率e=，可得a²=2b²，利用橢圓E：=1經(jīng)過點（，1），我們有，從而可求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）連接OM，OP，OQ，設(shè)M（-4，m），由圓的切線性質(zhì)及∠PMQ=60°，可知△OPM為直角三角形且∠OMP=30°，從而可求M（-4，4），進而以O(shè)M為直徑的圓K的方程為（x+2）²+（y-2）²=8與圓O：x²+y²=8聯(lián)立，兩式相減可得直線PQ的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓E：=1（a＞b＞0）的離心率e=，
∴，∴，∴a²=2b²①
∵橢圓E：=1經(jīng)過點（，1），
∴②
①代入②可得b²=4
∴a²=2b²=8
∴橢圓E的標準方程為；
（Ⅱ）連接OM，OP，OQ，設(shè)M（-4，m）
由圓的切線性質(zhì)及∠PMQ=60°，可知△OPM為直角三角形且∠OMP=30°
∵|OP|=2，∴
∴
∵m＞0，∴m=4
∴M（-4，4）
∴以O(shè)M為直徑的圓K的方程為（x+2）²+（y-2）²=8
與圓O：x²+y²=8聯(lián)立，兩式相減可得直線PQ的方程為：x-y+2=0
點評：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標準方程，考查圓與橢圓的綜合，解題的關(guān)鍵是確定M的坐標，進而確定以O(shè)M為直徑的圓K的方程．