Question

18．設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，4），圓C的方程為（x-1）²+（y+1）²=4．
（1）若直線l經(jīng)過(guò)圓C的圓心，求直線l的斜率；
（2）若直線l與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是P（3，4），圓C的圓心是C（1，-1），即可求出當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)圓C的圓心時(shí)，直線l的斜率；
（2）利用圓心到直線的距離小于圓的半徑，求直線l的斜率的取值范圍．

解答 解：（1）由已知得直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是P（3，4），
而圓C的圓心是C（1，-1），所以，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)圓C的圓心時(shí)，直線l的斜率為k=$\frac{5}{2}$．
（2）由題意，設(shè)直線l的方程為y-4=k（x-3），
即kx-y+4-3k=0．又直線l與圓C：（x-1）²+（y+1）²=4交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，
所以圓心到直線的距離小于圓的半徑，即$\frac{|5-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2．解得k＞$\frac{21}{20}$．
所以直線l的斜率的取值范圍為k＞$\frac{21}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．