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正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為3，長為2的線段MN的一個端點M在AA1上運動，另一端點N在底面ABC上運動，則MN的中點P的軌跡（曲面）與正三棱柱共頂點A的三個面所圍成的幾何體的體積為
 
．
分析：由題設中的條件可以判斷出MN的中點P的軌跡（曲面）與正三棱柱共頂點A的三個面所圍成的幾何體是一個半徑為1的球的一部分，故由球的體積公式求即可
解答：解：由題意知，∠MAN=90°，再由P是中點，知AP=
1
2
MN=1，故MN的中點P的軌跡（曲面）是一個球面的一部分，此球以A球心，1為半徑
由題意MN的中點P的軌跡（曲面）與正三棱柱共頂點A的三個面所圍成的幾何體此球的體積的
1
12

故其體積為
1
12
×
4
3
× π×12=
π
9

故答案為
π
9
點評：本題考查球的體積與表面積，解題的關鍵是根據題中的條件確定出所圍成的幾何體是一個球的一部分且能根據正三棱柱的幾何特征及此幾何體的幾何特征出其體積正好是相應球的體積的
1
12
，本題考查了空間想像能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=
AA13
=a，E，F分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖在 正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，底面邊長為
2

（1）設側棱長為1，求證A B1⊥B C1；
（2）設A B1與B C1成600角，求側棱長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AA1=4，AB=2，M是AC的中點，點N在AA1上，AN=
1
4
．
（1）求BC1與側面AC C1 A1所成角的正弦值；
（2）證明：MN⊥B C1；
（3）求二面角C-C1B-M的平面角的正弦值，若在△A1B1C1中，
C1E
=
1
3
EA1
，
C1F
=
1
4
FB1
，
C1H
=x
C1A1
+y
C1B1
，求x+y的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=數學公式=a，E，F分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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科目：高中數學 來源：1996年全國統(tǒng)一高考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB==a，E，F分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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