Question

14．針對當前市場的低迷，企業(yè)在不斷開拓市場的同時，也在不斷的加強產品質量的管理．我市某企業(yè)從生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的質量指標值，由測量結果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質量指標值落在區(qū)間[55，65），[65，75），[75，85]內的頻率之比為4：2：1．
（1）求這些產品質量指標值落在區(qū)間[75，85]內的頻率；
（2）用分層抽樣的方法在區(qū)間[45，75）內抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意抽取2件產品，求這2件產品都在區(qū)間[45，65）內的概率．

Answer 1

分析 （1）設這些產品質量指標值落在區(qū)間[75，85]內的頻率為x，由題意得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+4x+2x+x=1，由此能求出這些產品質量指標值落在區(qū)間[75，85]內的頻率．
（2）由頻率分布直方圖得區(qū)間[45，55）內有30件，區(qū)間[55，65）內有20件，區(qū)間[65，75）內有10件，用分層抽樣的方法在區(qū)間[45，75）內抽取一個容量為6的樣本，區(qū)間[45，55）內抽取3件，區(qū)間[55，65）內抽取2件，區(qū)間[65，75）內抽取1件，由此能求出這2件產品都在區(qū)間[45，65）內的概率．

解答 解：（1）設這些產品質量指標值落在區(qū)間[75，85]內的頻率為x，
由題意得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+4x+2x+x=1，
解得x=0.05．
（2）由頻率分布直方圖得區(qū)間[45，55）內有0.03×10×100=30件，
區(qū)間[55，65）內有0.2×100=20件，
區(qū)間[65，75）內有0.1×100=10件，
用分層抽樣的方法在區(qū)間[45，75）內抽取一個容量為6的樣本，
則區(qū)間[45，55）內抽取6×$\frac{30}{30+20+10}$=3件，
區(qū)間[55，65）內抽取6×$\frac{20}{30+20+10}$=2件，
區(qū)間[65，75）內抽取6×$\frac{10}{30+20+10}$=1件，
將該樣本看成一個總體，從中任意抽取2件產品，基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{2}$=15，
這2件產品都在區(qū)間[45，65）內包含的基本事件個數(shù)m=${C}_{5}^{2}$=10，
∴這2件產品都在區(qū)間[45，65）內的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{10}{15}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分層抽樣的性質的合理運用．