Question

4．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{10}cosα}\\{y=1+\sqrt{10}sinα}}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）若直線的極坐標(biāo)方程為sinθ-cosθ=$\frac{1}{ρ}$，求直線被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）先把參數(shù)方程化成普通方程，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出極坐標(biāo)方程；
（2）求出直線的直角坐標(biāo)方程，求得圓心到直線的距離，根據(jù)垂徑定理求出弦長．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{10}cosα}\\{y=1+\sqrt{10}sinα}}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程為（x-3）²+（y-1）²=10．
即x²+y²-6x-2y=0，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入普通方程得ρ²-6ρcosθ-2ρsinθ=0．
∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ+2sinθ．
（2）直線的直角坐標(biāo)方程為y-x-1=0，
∴圓心C（3，1）到直線的距離d=$\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴直線被曲線C截得的弦長為2$\sqrt{{r}^{2}-khip1ad^{2}}$=2$\sqrt{10-\frac{9}{2}}$=$\sqrt{22}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．