設(shè)向量
a
=(x，2)，
b
=(x+n，2x-1) (n∈N+)，函數(shù)y=
a
•
b
在[0，1]上的最小值與最大值的和為an，又?jǐn)?shù)列{bn}滿足：nb1+(n-1)b2+…+bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+(
9
10
)+1
（1）求證：an=n+1；
（2）求bn的表達(dá)式；
（3）cn=-an•bn，試問數(shù)列{cn}中，是否存在正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n，都有cn≤ck成立？證明你的結(jié)論．
分析：（1）由y=x（x+n）+4x-2=x2+（4+n）x-2在[0，1]上為增函數(shù)，知an=n+1
（2）由nb1+(n-1)b2++bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2++(
9
10
)+1=10[1-(
9
10
)n](n-1)b1+(n-2)b2++bn-1=(
9
10
)n-2+(
9
10
)n-3++(
9
10
)+1=10[1-(
9
10
)n-1]可bn=
1    n=1
-
1
10
•(
9
10
)n-2  n≥2

（3）由題意知cn=-
n+1
10
•(
9
10
)n-2，
ck
ck-1
≥1
ck
ck+1
≥1
?k=9或8，由此可知存在k=8，9使得cn≤ck對所有的n∈N*成立
解答：解：（1）∵
a
=(x，2)，
b
=(x+n，2x-1) (n∈N+)，
∴函數(shù)y=
a
•
b
=x（x+n）+4x-2=x2+（4+n）x-2
判斷知，此函數(shù)在[0，1]上為增函數(shù)，
∴an=-2+1+4+n-2=n+1
（2）nb1+(n-1)b2+…+bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+(
9
10
)+1=10[1-(
9
10
)n](n-1)b1+(n-2)b2+…+bn-1=(
9
10
)n-2+(
9
10
)n-3+…+(
9
10
)+1=10[1-(
9
10
)n-1]
兩式相減得：b1+b2+…+bn=(
9
10
)n-1
由上式得b1+b2+…+bn-1=(
9
10
)n-2
兩式作差得bn=-
1
10
•(
9
10
)n-2，n≥2
又n=1時，b1=1
所以bn=
1    n=1
-
1
10
•(
9
10
)n-2  n≥2

（3）n≥2時，cn=
n+1
10
•(
9
10
)n-2，
令
ck
ck-1
≥1
ck
ck+1
≥1
?k=9或8
驗證知，當(dāng)n=1，2也滿足
故存在k=8，9使得cn≤ck對所有的n∈N*成立
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，難度較大，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=(x，2)，
b
=(2，1)，若
a
和
b
的夾角為銳角，則實數(shù)x的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a 
=(x ， 2)，
b 
=(x+n ， 2x-1)（n為正整數(shù)），函數(shù)y=
a 
•
b 
在[0，1]上的最小值與最大值的和為an，又?jǐn)?shù)列{bn}滿足：nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1．
（1）求證：an=n+1（2）．
（2）求bn的表達(dá)式．
（3）若cn=-an•bn，試問數(shù)列{cn}中，是否存在正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n，都有cn≤ck成立？證明你的結(jié)論．（注：
a 
=( a1 ，a2 )與
a 
={ a1 ，a2 }表示意義相同）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=(x，2)，
b
=(x+n，2x-1)（n∈N*），函數(shù)y=
a
•
b
在[0，1]上的最大值與最小值的和為an，又?jǐn)?shù)列{bn}滿足：nb1+（n-1）b2+…+2bn-1+bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1．
（1）求an、bn的表達(dá)式．
（2）Cn=-anbn，問數(shù)列{cn}中是否存在正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n，都有Cn≤Ck成立，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•嘉定區(qū)三模）設(shè)向量
a
=(x ， 2)，
b
=(x+n ， 2x-1)（n∈N*），函數(shù)y=
a
•
b
在x∈[0，1]上的最小值與最大值的和為an，又?jǐn)?shù)列{bn}滿足b1=1，b1+b2+…+bn=(
9
10
)n-1．
（1）求證：an=n+1；
（2）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（3）設(shè)cn=-an•bn，試問數(shù)列{cn}中，是否存在正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n，都有cn≤ck成立？若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由．

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