【題目】已知雙曲線 =1(a>0,b>0)的離心率e= ,直線l過A(a,0),B(0,﹣b)兩點(diǎn),原點(diǎn)O到直線l的距離是
(1)求雙曲線的方程;
(2)過點(diǎn)B作直線m交雙曲線于M、N兩點(diǎn),若 =﹣23,求直線m的方程.

【答案】
(1)解:依題意,l方程 + =1,即bx﹣ay﹣ab=0,由原點(diǎn)O到l的距離為 ,得

= ,又e= = ,

∴b=1,a=

故所求雙曲線方程為 ﹣y2=1.


(2)解:顯然直線m不與x軸垂直,設(shè)m方程為y=kx﹣1,

則點(diǎn)M、N坐標(biāo)(x1,y1),(x2,y2)是方程組 的解,

消去y,得(1﹣3k2)x2+6kx﹣6=0.①

依題意,1﹣3k2≠0,由根與系數(shù)關(guān)系,

知x1+x2= ,x1x2=

=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2

=x1x2+(kx1﹣1)(kx2﹣1)

=(1+k2)x1x2﹣k(x1+x2)+1

= +1= +1.

又∵ =﹣23,

+1=﹣23,k=± ,

當(dāng)k=± 時(shí),方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

∴方程為y= x﹣1或y=﹣ x﹣1.


【解析】(1)先求出直線l的方程,再點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于a,b,c的方程,解這個(gè)方程求出a,b,從而得到雙曲線的方程.(2)設(shè)m方程為y=kx﹣1,則點(diǎn)M、N坐標(biāo)(x1 , y1),(x2 , y2)是方程組 的解,消去y,得(1﹣3k2)x2+6kx﹣6=0.由根與系數(shù)關(guān)系和題設(shè)條件推導(dǎo)出k的值,從而求出直線m的方程.

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【題目】已知實(shí)數(shù)x,y滿足ax<ay(0<a<1),則下列關(guān)系式恒成立的是( 。
A.x3>y3
B.sinx>siny
C.ln(x2+1)>ln(y2+1)
D.

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【題目】對(duì)某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到樣本的莖葉圖(如圖所示).則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是( 。

A.46 45 56
B.46 45 53
C.47 45 56
D.45 47 53

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【題目】已知a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,sin2B=2sinAsinC.
(Ⅰ)若a=b,求cosB;
(Ⅱ)設(shè)B=90°,且a= , 求△ABC的面積.

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【題目】如圖,已知橢圓 的離心率,短軸右端點(diǎn)為, 為線段的中點(diǎn).

(Ⅰ) 求橢圓的方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn),試探究在軸上是否存在定點(diǎn),使得,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣mx+m,m、x∈R.
(1)若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為R,求m的取值范圍;
(2)若實(shí)x1 , x2數(shù)滿足x1<x2 , 且f(x1)≠f(x2),證明:方程f(x)= [f(x1)+f(x2)]至少有一個(gè)實(shí)根x0∈(x1 , x2);
(3)設(shè)F(x)=f(x)+1﹣m﹣m2 , 且|F(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】有下列命題:
①雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn);
②“”是“2x2﹣5x﹣3<0”必要不充分條件;
③“若xy=0,則x、y中至少有一個(gè)為0”的否命題是真命題.;
④若p是q的充分條件,r是q的必要條件,r是s的充要條件,則s是p的必要條件;
其中是真命題的有: .(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知
(1)求 的值;
(2)若cosB= ,△ABC的周長為5,求b的長.

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