Question

2．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點(diǎn)（1，-2），經(jīng)過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，A在x軸的上方，Q（-1，0），若以QF為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)B，則|AF|-|BF|=（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 求出拋物線的方程，設(shè)直線l的傾斜角為α，|AF|-|BF|=$\frac{2}{1-cosα}$-$\frac{2}{1+cosα}$=$\frac{4cosα}{1-co{s}^{2}α}$．利用以QF為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)B，得出cosα=1-cos²α，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵拋物線C：y²=2px（p＞0）過點(diǎn)（1，-2），
∴4=2p，∴p=2，
∴拋物線C：y²=4x．
設(shè)直線l的傾斜角為α，則|AF|=|AF|cosα+|QF|=|AF|cosα+2，
∴|AF|=$\frac{2}{1-cosα}$．
同理|BF|=$\frac{2}{1+cosα}$，
∴|AF|-|BF|=$\frac{2}{1-cosα}$-$\frac{2}{1+cosα}$=$\frac{4cosα}{1-co{s}^{2}α}$．
∵以QF為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)B，
∴BQ⊥BF，
∴|BF|=$\frac{2}{1+cosα}$=2cosα，即cosα=1-cos²α，
∴|AF|-|BF|=$\frac{2}{1-cosα}$-$\frac{2}{1+cosα}$=$\frac{4cosα}{1-co{s}^{2}α}$=4
故選D．

點(diǎn)評 本題考查拋物線方程與性質(zhì)，考查圓的運(yùn)用，屬于中檔題．