Question

11．在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=6，$BC=2\sqrt{3}$，O為AC的中點，過C作BO的垂線，交BO、AB分別于R、D．若∠DPR=∠CPR，則三棱錐P-ABC體積的最大值為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出AC=4$\sqrt{3}$，△BOC是正三角形，從而∠BCR=30°，CR=3，CD=4，進而DR=1，PR是∠DPC的平分線，$\frac{DP}{PC}=\frac{DR}{RC}=\frac{1}{3}$，由此能求出三棱錐P-ABC體積的最大值．

解答 解：∵AB⊥BC，AB=6，$BC=2\sqrt{3}$，∴AC=$\sqrt{36+12}$=4$\sqrt{3}$，
∴$∠BCA=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，∴∠BCA=60°，
∵O為AC的中點，∴OA=OB=OC，∴△BOC是正三角形，
∵過C作BO的垂線，交BO、AB分別于R、D．∠DPR=∠CPR，
∴∠BCR=30°，CR=$\frac{\sqrt{3}}{2}BC=3$，CD=$\frac{2BC}{\sqrt{3}}$=4，∴DR=1，
∵∠DPR=∠CPR，∴PR是∠DPC的平分線，
∴$\frac{DP}{PC}=\frac{DR}{RC}=\frac{1}{3}$，
以D為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)P（x，y），則$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，
整理，得（x+$\frac{1}{2}$）+y²=$\frac{9}{4}$，
∴${y}_{max}=\frac{3}{2}$，
∴三棱錐P-ABC體積的最大值為：
V_max=$\frac{1}{3}×{y}_{max}×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×6×2\sqrt{3}×\frac{3}{2}$=3$\sqrt{3}$．
故答案為：3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查空間思維能力，是中檔題．