Question

（2013•朝陽(yáng)區(qū)一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)A（2，0），離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（1，0）且斜率為k（k≠0））的直線l與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別交直線x=3 于M，N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)為P．記直線PB的斜率為k′，求證：k•k′為定值．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的離心率計(jì)算公式e=

c

a

，頂點(diǎn)A（a，0），及其a²=b²+c²即可得出a，b，c，于是得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．與橢圓的方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用直線AE，AF的方程即可得到點(diǎn)M，N，及中點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用斜率的計(jì)算公式即可證明．

解答：解：（Ⅰ）依題得

a2=b2+c2 c a = 3 2 a=2

解得a²=4，b²=1．
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）根據(jù)已知可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) x2+4y2=4

得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

4k2+1

．
直線AE，AF的方程分別為：y=

y1

x1-2

(x-2)，y=

y2

x2-2

(x-2)，
令x=3，
則M(3，

y1

x1-2

)，N(3，

y2

x2-2

)，所以P(3，

1

2

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

))．
所以k•k^′=

k

4

×

k(x1-1)(x2-2)+k(x2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

k2

4

×

2x1x2-3(x1+x2)+4

x1x2-2(x1+x2)+4

=

k2

4

×

8k2-8-24k2+16k2+4 4k2+1

4k2-4-16k2+16k2+4 4k2+1

=

k2

4

×

-4

4k2

=-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線的方程、斜率的計(jì)算公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．