Question

（2011•臨沂一模）投擲四枚不同的金屬硬幣A、B、C、D，假定A、B兩枚正面向上的概率均為

1

2

，另兩枚C、D為非均勻硬幣，正面向上的概率均為a（0＜a＜1），把這四枚硬幣各投擲一次，設(shè)ξ表示正面向上的枚數(shù)．
（1）若A、B出現(xiàn)一正一反與C、D出現(xiàn)兩正的概率相等，求a的值；
（2）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望（用a表示）；
（3）若出現(xiàn)2枚硬幣正面向上的概率最大，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）A、B出現(xiàn)一正一反的概率為C2×1×

1

2

×(1-

1

2

)，C、D出現(xiàn)兩正的概率為a²，由于兩個(gè)概率相等，即可列出關(guān)于a的方程
（2）ξ的可能的值為0，1，2，3，4其中0和4時(shí)直接計(jì)算即可，ξ的值為1時(shí)要分是A，B還是C，D正面向上；ξ的值為2時(shí)要分都是A，B中的，都是C，D中的，A，B和C，D中個(gè)一個(gè)；ξ的值為3時(shí)要分ABC，ABD，CDA，CDB然后根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，和獨(dú)立事件的概率定義即可求出ξ的分布列，數(shù)學(xué)期望由求出ξ的分布列即可求解
（3）利用出現(xiàn)2枚硬幣正面向上的概率最大建立關(guān)于a的不等關(guān)系，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得：2×

1

2

×(1-

1

2

)=a2
∴a=

2

2

（2）ξ=0，1，2，3，4
P（ξ=0）=C20(1-

1

2

)2C20(1-a)2=

1

4

(1-a)2，
P（ξ=1）=C21

1

2

(1-

1

2

) C20(1-a)2+C20(1-

1

2

)2C21a(1-a)= 

1

2

(1-a) 
P（ξ=2）=C22

1

2

2C20(1-a)2+C21

1

2

(1-

1

2

) C21a(1-a)+C20(1-

1

2

)2C22a2= 

1

4

(1+2a-2a2) 
P（ξ=3）=C22

1

2

2C21a(1-a) +C21

1

2

(1-

1

2

) C22a2=

a

2

P（ξ=4）=C22(

1

2

)2C22a2=

1

4

a2，
得ξ得分布列為：

∴Eξ=1×

1

2

(1-a)+2×

1

4

(1+2a-2a2)+3×

a

2

+4×

1

4

a2=2a+1
（3）∵0＜a＜1，顯然

1

4

(1-a)2＜

1

2

(1-a)，即P（ξ=0）＜P（ξ=1）
∵

a

2

＞

1

4

a2，即P(ξ=3)＞P(ξ=4)
由P（ξ=2）-P（ξ=1）=

1

4

(1+2a-2a2)-

1

2

（1-a）=-

1

4

(2a2-4a+1) ≥0
且P（ξ=2）-P（ξ=3）=

1

4

(1+2a-2a2)-

a

2

=-

1

4

(2a2-1) ≥0
得

2a2-4a+1≤0 2a2-1≤0

解得

2- 2

2

≤a≤

2

2

即a三問(wèn)取值范圍是：[

2- 2

2

，

2

2

]

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率、離散型隨機(jī)變量的期望與方差、概率的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．