（2011•臨沂一模）已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于點(diǎn)P，且與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)的直線，且|
.
OP
|=1，問：是否存在上述直線l使
.
AP
•
.
PB
=1成立？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．
分析：（1）設(shè)M（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)M（x，y）滿足
(x-1)2+y2
-x=1(x＞0)，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）．假設(shè)使
AP
•
PB
=1成立的直線l存在．①當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，由l與n垂直相交于P點(diǎn)且|
OA
|=1．得m2=k2+1．由此能導(dǎo)出存在兩條直線l滿足條件，其方程為：y=
15
15
x-
4
15
15
，y=
15
15
x+
4
15
15
．②當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，則n為x軸，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），A（1，2），B（1，-2符合題意的直線l有兩條：y=
15
15
x-
4
15
15
+y=-
15
15
x+
4
15
15
．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，
那么點(diǎn)M（x，y）滿足
(x-1)2+y2
-x=1(x＞0)，
化簡(jiǎn)，得y2=4x（x＞0）．…（3分）
（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）．
假設(shè)使
AP
•
PB
=1成立的直線l存在．
①當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，
由l與n垂直相交于P點(diǎn)且|
OA
|=1．
得
|m|
k2+1
=1，即m2=k2+1．①…（4分）
∴
AP
•
PB
=1，|
OP
|=1
∴
OA
•
OB
=(
OP
+
PA
)•(
OP
+
PB
)…（5分）
=
OP2
+
OP
•
PB
+
PA
•
OP
+
PA
•
PB

=1+0+0-1=0，
即x1x2+y1y2=0．…（6分）
將y=kx+m代入方程y2=4x，
得k2x2+（2km-4）x+m2=0．…（7分）
∵l與C有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴k≠0，x1+x2=
4-2km
k2
，x1x2=
m2
k2
．②
∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）
=（1+k2）x1x2+km （x1+x2）+m2=0．③…（8分）
將②代入③得(1+k2)•
m2
k2
+km•
4-2km
k2
+m2=0．
化簡(jiǎn)，得m2+4km=0．…（9分）
∵|
OP
|=1，
∴m≠0  ①∴m+4k=0   ④
由①、④得
k=
1
15
m=
4
15
，或
k=
1
15
m=-
4
15
，…（10分）
得存在兩條直線l滿足條件，其方程為：y=
15
15
x-
4
15
15
，y=
15
15
x+
4
15
15
．
②當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，則n為x軸，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），A（1，2），B（1，-2）．
∴
AP
=(0，-2)，
PB
=(0，-2)，
∴
AP
•
PB
=4≠1，
不合題意．
綜上，符合題意的直線l有兩條：y=
15
15
x-
4
15
15
+y=-
15
15
x+
4
15
15
．…（12分）
注：第Ⅱ問設(shè)l的方程為x=ly+m，聯(lián)立y2=4x建立y的一元二次方程更簡(jiǎn)單，且不需討論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是圓錐曲線知識(shí)體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
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12
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