Question

【題目】函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a≤0時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，的單調(diào)遞增區(qū)間是．(Ⅱ) 證明見解析．

【解析】試題分析：

（1）求出導數(shù)，根據(jù)對的分類討論，找到導數(shù)正負區(qū)間，即可求出；

（2）求出函數(shù)的最小值，轉(zhuǎn)化為證≥，構(gòu)造，求其最小值，即可解決問題.

試題解析：

（Ⅰ）．

當a≤0時，，則在上單調(diào)遞減；當時，由解得，由解得．

即在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

綜上，a≤0時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，的單調(diào)遞增區(qū)間是．

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，

則．

要證≥，即證≥，即+≥0，

即證≥．構(gòu)造函數(shù)，則，

由解得，由解得，

即在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

∴ ，

即≥0成立．從而≥成立．