Question

給出下列命題：
①函數(shù)y=2^-|x|為偶函數(shù)；
②函數(shù)y=1是周期函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點(diǎn)有2個(gè)；
④函數(shù)g（x）=|log₂x|-（

1

2

）^x在（0，+∞）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂且x₁•x₂＜1．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)的奇偶性的定義，即可判斷①；運(yùn)用函數(shù)的周期性，即可判斷②；畫出y=x²，y=2^x的圖象，注意f（2）=0，f（4）=0，從而判斷③；作出y=|log₂x|和y=（

1

2

）^x在（0，+∞）上的圖象，結(jié)合圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)和范圍，即可判斷④．

解答： 解：①函數(shù)y=2^-|x|為偶函數(shù)，由于f（-x）=2^-|-x|=2^-|x|₌f（x），
故①正確；
②函數(shù)y=1，即f（x）=1，存在非零常數(shù)T，有f（x+T）=f（x），
故為周期函數(shù)，即②正確；
③函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點(diǎn)，即令f（x）=0，2^x=x²，
顯然有f（2）=0，f（4）=0，當(dāng)x＜0時(shí)，y=x²遞減，
y=2^x遞增，顯然有一個(gè)交點(diǎn)，故有三個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)；
④令g（x）=0，則|log₂x|=（

1

2

）x，
作出y=|log₂x|和y=（

1

2

）^x在（0，+∞）上的圖象，
可知恰有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為x₁，x₂且
|log₂x₁|＞|log₂x₂|，x₁＜1，x₂＞1，
故有

1

x1

＞x2，即x₁x₂＜1，故④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性及運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，掌握運(yùn)用圖象求交點(diǎn)個(gè)數(shù)，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．