Question

直線x+y=n（n∈N⁺）與x軸y軸所圍成區(qū)域內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)為a_n，所圍成區(qū)域內(nèi)部（包括邊界）的整點個數(shù)為b_n，（整點就是橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點）
（Ⅰ）求a₃和b₃的值；
（Ⅱ）求a_n及b_n的表達(dá)式；
（Ⅲ）對a_n個整點用紅黃藍(lán)白四色之一著色，其方法總數(shù)為A_n，對b_n個整點用紅黃兩色之一著色，其方法總數(shù)為B_n，試比較A_n與B_n的大小

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求a₃和b₃的值，只需令n=3時，找出滿足條件的點，即可得到．
（Ⅱ）通過探討各直線上的點和區(qū)域內(nèi)部的點的個數(shù)，即可求得a_n及b_n的表達(dá)式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的結(jié)論求出A_n，B_n，利用作商法比較大�。�

解答：解：（Ⅰ）n=3時，直線x=0上有（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）4個點，直線x=1上有（1，0）（1，1）（1，2）3個點，
直線x=2上有（2，0）（2，1）2個點，直線x=3上有（3，0）1個點，所以a₃=1，b₃=4+3+2+1=10
（Ⅱ）n=1時，b₁=3，a₁=0
n=2時，b₁=6，a₂=0
當(dāng)n≥3時，b_n=（n+1）+n+（n-1）+…+2+1=

(n+1)(n+2)

2

a_n=b_n-3（n+1）+3=

(n-1)(n-2)

2

當(dāng)n=1，2時也滿足
所以a_n=

n2-3n+2

2

，b_n=

n2+3n+2

2

（n∈N^*_）
（Ⅲ）對于a_n個整點中的每一個點都有4種著色方法，故A_n=4

n2-3n+2

2

對于b_n個整點中的每一個點都有2種著色方法，故B_n=2

n2+3n+2

2

∴

An

Bn

=2(n2-3n+2)-

n2+3n+2

2

=2

n2-9n+2

2

=2

(n- 9 2 )2- 65 4

2

當(dāng)n=1，2，3，4，5，6，7，8時A_n＜B_n
當(dāng)n≥9且n∈N^*時，A_n＞B_n

點評：本題是個中檔題，主要考查了數(shù)列遞推式，同時考查了作商比較大小的方法，注意分類討論的思想的應(yīng)用．