Question

已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）對于任意正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在最小的正常數(shù)，使得：當(dāng)時，對于任意正實(shí)數(shù)，不等式恒成立？給出你的結(jié)論，并說明結(jié)論的合理性.

Answer 1

解：⑴令,得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.       (3分)

⑵由于，所以.構(gòu)造函數(shù)，則令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，即.

因此所求的的取值范圍是.                   (7分)

⑶結(jié)論：這樣的最小正常數(shù)存在.  解釋如下：

.

構(gòu)造函數(shù)，則問題就是要求恒成立.         (9分)

對于求導(dǎo)得 .

令，則，顯然是減函數(shù).

又，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，而，    

，.

    所以函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點(diǎn)，令為和，并且有: 在區(qū)間和上，即；在區(qū)間上，即. 從而可知函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增. ，當(dāng)時，；當(dāng)時，. 還有是函數(shù)的極大值，也是最大值.

    題目要找的，理由是：

    當(dāng)時，對于任意非零正數(shù)，，而在上單調(diào)遞減，所以一定恒成立，即題目所要求的不等式恒成立，說明；

    當(dāng)時，取，顯然且，題目所要求的不等式不恒成立，說明不能比小.

    綜合可知，題目所要尋求的最小正常數(shù)就是，即存在最小正常數(shù)，當(dāng)時，對于任意正實(shí)數(shù)，不等式恒成立.    (12分)

( 注意：對于和的存在性也可以如下處理：

令，即. 作出基本函數(shù)和 的圖像，借助于它們的圖像有兩個交點(diǎn)很容易知道方程有兩個正實(shí)數(shù)根和，且，（實(shí)際上），可知函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.，當(dāng)時，；當(dāng)時，. 還有是函數(shù)的極大值，也是最大值. ）