Question

如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A₁B₁，A₁D₁，C₁D₁，B₁C₁的中點．求證：

(1)E，F(xiàn)，B，D四點共面；

(2)平面AMN∥平面BFED．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)連接B1D1，因為E，F(xiàn)分別為C1D1，B1C1的中點，所以FE∥B1D1．又BD∥B1D1，所以FE∥BD．所以E，F(xiàn)，B，D四點共面． 　　(2)連接AC交BD于點O，連接A1C1，分別交MN，B1D1，EF于點G，O1，K，連接AG，OK．因為GO1＝A1O1，KO1＝C1O1，所以GK＝A1C1．又因為AO＝AC，且AC＝A1C1，所以AO＝GK．又AO∥GK，所以四邊形AOKG為平行四邊形．所以AG∥OK．因為AG平面BFED，OK平面BFED，所以AG∥平面BFED．因為MN∥B1D1∥FE，MN平面BFED，EF平面BFED，所以MN∥平面BFED．又MN∩AG＝G，所以平面AMN∥平面BFED．