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【題目】在直角坐標系中,動圓與圓外切,且圓與直線相切,記動圓圓心的軌跡為曲線

(1)求曲線的軌跡方程;

(2)設過定點的動直線與曲線交于兩點,試問:在曲線上是否存在點(與兩點相異),當直線的斜率存在時,直線的斜率之和為定值?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)答案見解析.

【解析】

(1)設,圓的半徑為,由動圓與圓外切,可得,又動圓與直線相切,所以,兩式結合消去即可得結果;(2)設出的坐標,

直線方程為,聯立直線與拋物線方程消去可得關于的一元二次方程,由韋達定理、斜率公式可得,,化為可得結果.

(1)設P(x,y),圓P的半徑為r,

因為動圓P與圓Q:(x-2)2+y2=1外切,

所以,①

又動圓P與直線x=-1相切,所以r=x+1,②

由①②消去r得y2=8x,

所以曲線C的軌跡方程為y2=8x.

(2)假設存在曲線C上的點M滿足題設條件,不妨設M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),

,,,

,

所以,③

顯然動直線l的斜率存在且非零,設l:x=ty-2,

聯立方程組,消去x得y2-8ty+16=0,

由Δ>0得t>1或t<-1,

所以y1+y2=8t,y1y2=16,且y1≠y2,

代入③式得,令(m為常數),

整理得,④

因為④式對任意t∈(-∞,-1)∪(1,+∞)恒成立,

所以,

所以,即M(2,4)或M(2,-4),

即存在曲線C上的點M(2,4)或M(2,-4)滿足題意.

練習冊系列答案
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232 321 230 023 123 021 132 220 001

231 130 133 231 031 320 122 103 233

由此可以估計,恰好第三次就停止的概率為

A. B. C. D.

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(2)若不等式恒成立,求的值.

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【題目】從某校隨機抽取100名學生,獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數據,整理得到頻數分布表和頻率分布直方圖如下.

組號

分組

頻數

1

[0,2)

6

2

[2,4)

8

3

[4,6)

17

4

[6,8)

22

5

[8,10)

25

6

[10,12)

12

7

[12,14)

6

8

[14,16)

2

9

[16,18)

2

合計

100

(1)從該校隨機選取一名學生,試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的頻率;

(2)求頻率分布直方圖中的ab的值.

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1)求圓錐筒的容積;

2)在(1)中的圓錐內有一個底面圓半徑為的內接圓柱(如圖3),求內接圓柱側面積最大時的值.

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