【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)若不等式恒成立,求的值.

【答案】(1)見解析;(2)1.

【解析】

1a1時(shí),fx)=,fx)=,令fx)=0,解得xe.通過(guò)列表可得函數(shù)fx)的單調(diào)遞區(qū)間及其極值.2)由題意可得:x0,由不等式恒成立,即x1alnx≥0恒成立.gx)=x1alnx≥0,g1)=0,x∈(0,+∞.gx)=1.對(duì)a分類討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出.

(1)a=1時(shí),fx)=f′(x)=,

f′(x)==0,解得xe.

x

(0,e

e

e,+∞)

f′(x

+

0

fx

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

可得函數(shù)fx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+∞),可得極大值為fe)=,為極小值.

(2)由題意可得:x>0,由不等式恒成立,即x﹣1﹣alnx≥0恒成立.

gx)=x﹣1﹣alnx≥0,g(1)=0,x∈(0,+∞).

g′(x)=1﹣.

①若a<0,則函數(shù)gx)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又g(1)=0,∴x∈(0,1)時(shí),gx)<0,不符合題意,舍去.

②若0<a<1,則函數(shù)gx)在(a,+∞)上g′(x)>0,即函數(shù)gx)單調(diào)遞增,又g(1)=0,∴x∈(a,1)時(shí),gx)<0,不符合題意,舍去.

③若a=1,則函數(shù)gx)在(1,+∞)上g′(x)>0,即函數(shù)gx)單調(diào)遞增,x∈(a,1)時(shí),g′(x)<0,函數(shù)gx)單調(diào)遞減.

x=1時(shí),函數(shù)gx)取得極小值即最小值,又g(1)=0,∴x>0時(shí),gx)≥0恒成立.

③若1<a,則函數(shù)gx)在(0,a)上g′(x)<0,即函數(shù)gx)單調(diào)遞減,又g(1)=0,∴x∈(1,a)時(shí),gx)<0,不符合題意,舍去.

綜上可得:a=1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求的值;

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5727 0293 7140 9857 0347

4373 8636 9647 1417 4698

0371 6233 2616 8045 6011

3661 9597 7424 6710 4281

據(jù)此估計(jì),該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中2次的概率為( )

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