Question

10．拋物線C₁：x²=2py（p＞0）的焦點與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{3}{-y}^{2}=1$的右焦點的連線在第一象限內(nèi)與C₁交于點M，若C₁在點M處的切線平行于C₂的一條漸近線，則p=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{16}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{8}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點坐標(biāo)，由兩點式寫出過兩個焦點的直線方程，求出C₁：x²=2py在x取直線與拋物線交點M的橫坐標(biāo)時的導(dǎo)數(shù)值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點橫坐標(biāo)與p的關(guān)系，把M點的坐標(biāo)代入直線方程即可求得p的值．

解答 解：由拋物線C₁：x²=2py（p＞0），可得焦點坐標(biāo)為F（0，$\frac{p}{2}$）．
由雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{3}{-y}^{2}=1$得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2．
所以雙曲線的右焦點為（2，0）．
則拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線所在直線方程為px+4y-2p=0①．
設(shè)該直線交拋物線于M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$），則C在點M處的切線的斜率為$\frac{{x}_{0}}{p}$．
由題意可知$\frac{{x}_{0}}{p}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得x₀=$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，代入M點得M（$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，$\frac{1}{6}$p）
把M點代入①得：p×$\frac{\sqrt{3}}{3}$p+4×$\frac{1}{6}$p-2p=0．
解得p=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，函數(shù)在曲線上某點處的切線的斜率等于函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)，是中檔題．