Question

設首項為1的數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n+1-2S_n=2ⁿ，n∈N^*，則其通項a_n=________．

Answer 1

（n+1）2^n-2
分析：利用S_n-S_n-1=a_n，轉化S_n+1-2S_n=2ⁿ，為S_n=a_n+1-2ⁿ的關系，推出a_n+1=2a_n+2 ^n-1，說明{}是以為首相d=為公差的等差數列，即可求出通項公式．
解答：由S_n-S_n-1=a_n則S_n+1-S_n=a_n+1，
S_n+1-2S_n=2ⁿ，n∈N^*，
S_n+1-S_n-S_n=2ⁿ，
則a_n+1-S_n=2ⁿ，
S_n=a_n+1-2ⁿ，
∴a_n=S_n-S_n-1
=a_n+1-2ⁿ-[a_n-2^n-1]
=-2 ^n-1+a_n+1-a_n
∴a_n+1=2a_n+2 ^n-1（兩邊同除以2ⁿ⁺¹）
∴，
∴，
所以{}是以為首相d=為公差的等差數列

化簡：a_n=（n+1）2^n-2．
故答案為：（n+1）2^n-2．
點評：本題是中檔題，考查數列遞推關系式的應用，數列通項公式的求法，把數列轉化為等差數列是解題的關鍵，考查轉化思想，計算能力．