Question

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R（x）="3" 700x+45x²-10x³（單位：萬(wàn)元），成本函數(shù)為C（x）="460x+5" 000（單位：萬(wàn)元），又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）.
（1）求利潤(rùn)函數(shù)P（x）及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）；（提示：利潤(rùn)=產(chǎn)值-成本）
（2）問(wèn)年造船量安排多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大？
（3）求邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，并說(shuō)明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么？

Answer 1

（1）MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x²+60x+3 275 (x∈N^*,且1≤x≤19)（2）年造船量安排12艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大（3）MP（x）是減函數(shù)的實(shí)際意義是：隨著產(chǎn)量的增加，每艘利潤(rùn)與前一艘比較，利潤(rùn)在減少

 （1）P（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3 240x-5 000（x∈N^*，且1≤x≤20）;
MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x²+60x+3 275 (x∈N^*,且1≤x≤19).
（2）P′(x)=-30x²+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),
∵x＞0,∴P′(x)=0時(shí),x=12，
∴當(dāng)0＜x＜12時(shí)，P′(x)＞0,當(dāng)x＞12時(shí)，P′(x)＜0,
∴x=12時(shí)，P(x)有最大值.
即年造船量安排12艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大.
（3）MP（x）=-30x²+60x+3 275=-30（x-1）²+3 305.
所以，當(dāng)x≥1時(shí)，MP(x)單調(diào)遞減，
所以單調(diào)減區(qū)間為［1，19］，且x∈N^*.
MP（x）是減函數(shù)的實(shí)際意義是：隨著產(chǎn)量的增加，每艘利潤(rùn)與前一艘比較，利潤(rùn)在減少.