Question

設(shè){a_n}和{b_n}均為無窮數(shù)列．
（1）若{a_n}和{b_n}均為等比數(shù)列，試研究：{a_n+b_n}和{a_nb_n}是否是等比數(shù)列？請證明你的結(jié)論；若是等比數(shù)列，請寫出其前n項(xiàng)和公式．
（2）請類比（1），針對等差數(shù)列提出相應(yīng)的真命題（不必證明），并寫出相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（用首項(xiàng)與公差表示）．

Answer 1

解：（1）①設(shè)c_n=a_n+b_n，則
﹣（+）（+）
=a₁b₁（q₁﹣q₂）²
當(dāng)q₁=q₂時，對任意的n∈N，n≥2，=c _n+1 c _n﹣1恒成立，
故{a_n+b_n}為等比數(shù)列；       
 ∴Sn=
當(dāng)q₁≠q₂時，對任意的n∈N，n≥2，≠c _n+1 c _n﹣1，{a_n+b_n}不是等比數(shù)列．
②設(shè)d_n=a_nb_n，對于任意n∈N*，，{a_nb_n}是等比數(shù)列．
S_n=  
（2）設(shè){a_n}，{b_n}均為等差數(shù)列，公差分別為d₁，d₂，則：
①{a_n+b_n}為等差數(shù)列；S_n=（a₁+b₁）n+（d₁+d₂）
②當(dāng)d₁與d₂至少有一個為0時，{a_nb_n}是等差數(shù)列，
若d₁=0，S_n=a₁b₁n+a₁d₂；
若d₂=0，S_n=a₁b₁n+b₁d₁．
③當(dāng)d₁與d₂都不為0時，{a_nb_n}一定不是等差數(shù)列．