已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是DSBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA==．求三棱錐S-ABC的體積．

答案：
解析：

解：如圖，由題設(shè)，AH^面SBC．作BH^SC于E，由三垂線定理可知SC^AE，SC^AB，故SC^面ABE．設(shè)S在面ABC內(nèi)射影為O，則SO^面ABC．由三垂線定理之逆定理，可知CO^AB于F．同理，BO^AC．故O為DABC的垂心．

    又因?yàn)?/span>DABC是等邊三角形，故O為DABC的中心，

    從而，SA==SB==SC==．

    因?yàn)?/span>CF^AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂線定理，EF^AB．

    所以，ÐEFC是二面角H-AB-C的平面角，故

    ÐEFC==30°，

    OC==SCcos60°==，

    SO===3．

    又OC=AB，故AB====3．

   VS-ABC==．

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐S-ABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=
2
r，則球的體積與三棱錐體積之比是（　�。�
A、πB、2πC、3πD、4π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2；則此棱錐的體積為
2
6
2
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA=2，SB=SC=4，若點(diǎn)P到S、A、B、C這四點(diǎn)的距離都是同一個(gè)值，則這個(gè)值是
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•蘭州一模）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，若三棱錐S-ABC的體積為
2
6
，則球O的表面積為
4π
4π
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐S-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在以O(shè)為球心的同一球面上，且SA=SB=SC=AB，∠ACB=90°，則當(dāng)球的表面積為400π時(shí)，點(diǎn)O到平面ABC的距離為（　�。�

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