Question

函數(shù)的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：法一：由題意，可由柯西不等式得到≤×從而求得f（x）取得最大值，即可得答案
法二：可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，由3x-1+10-3x=9，可令代入函數(shù)解析式得y=15cosθ+36sinθ，由三角函數(shù)的公式化簡(jiǎn)求出此三角函數(shù)的最值即可得到所求函數(shù)的最值
解答：解：法一：由柯西不等式，
≤×==39
當(dāng)且僅當(dāng)5=12，即x=時(shí)等號(hào)成立
即x=時(shí)函數(shù)取到最大值39
故答案為39
法二：由題觀察到3x-1+10-3x=9，可令
代入函數(shù)解析式得y=15cosθ+36sinθ=39（cosθ+sinθ），
令tanα=，則有sinα=，cosα=
可得y=15cosθ+36sinθ=39sin（θ+α）
由于，可得，故可得θ+α可取，所以有y≤39
函數(shù)的最大值為39
故答案為39
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了柯西不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值，解答的關(guān)鍵是對(duì)所給函數(shù)解析式靈活變形，應(yīng)用柯西不等式，或者引入?yún)��?shù)進(jìn)行三角代換，將求最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值，本題第一種方法解題的重點(diǎn)是熟記柯西不等式，能根據(jù)題設(shè)條件直接選用或者變形后選用公式求最值，第二種解法重點(diǎn)是觀察到3x-1+10-3x=9，即兩個(gè)根式的平方和是一個(gè)常數(shù)，從而聯(lián)想到三角代換，將求函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值，在高中階段，如本題這種類型的函數(shù)求最值不多見，若其形式這樣變化，此時(shí)函數(shù)中兩個(gè)根式變量的系數(shù)互為相反數(shù)，這樣的函數(shù)解析式可用基本不等式求最值，此處出現(xiàn)了和為定值的形式，如本題這樣，由于兩根式系數(shù)不相等，基本不等式不再適用，用柯西不等式即是求此類函數(shù)最值的常規(guī)方法．